关于问题行列式的本质是解决什么问题？现实本质是什么？一共有 3 位热心网友为你解答:
【1】、来自网友【帖木兒】的最佳回答：
行列式是线性代数的重要概念之一。不幸的事，对于相当多的国内教材和初学者而言，除了一串看似复杂的公式和一串相关定理之外，似乎一切都不知所云。
Wong！行列式有着极其清晰和简明的数学含义，特别是，具有明确的几何含义。
首先，我们必须认识到线性代数和（高维）几何的极大相关性，甚至可以说，线性代数就是线性几何。nothing more，nothing less。
行列式，矩阵的逆，矩阵的秩（rank），这三个重要的概念极其相关，几乎是一回事。
一个 n 阶矩阵，代表的就是一个 n 维欧几里得空间里的 n 个点或向量，它们在 n 维空间里“张开”形成一个子空间，行列式就是这个“子空间”（平行 2n 面体）的有向“超体积”。
这本身可以作为一个习题，不算太难，用数学归纳法很好证明。
显然，假如这个矩阵的 n 个向量不是完全线性独立的，就是说某个向量可以用其他向量线性组合出来，那从几何上看，那个张开的子空间就是一个“扁平”的，其超体积必然为 0。
所以，一个方阵是否线性相关，完全等价于其行列式是否=0。从此可以引申，一个存在线性相关性的矩阵必然没有“逆”，矩阵本身就显然代表了线性组合或线性变换，逆就是反变换。用一个行列式=0 的线性相关矩阵去变化，必然把输入也扁平化，就像*0，0 没有倒数，所以行列式=0 的矩阵没有逆。
同样，秩（rank）就是指矩阵中存在的线性无关的向量的最大数，当秩=n 是就是“满秩”，此时行列式≠0，矩阵有逆。秩的几何意义就是这 n 个向量张开的最大的体积非零的子空间维度。
线性代数里计算行列式，计算逆，计算秩，都有很多方法，但我推荐一种，统一的方法，从中可以看出三者是几乎完全一致的数学概念。
方法就是“对角化”，通过行变换和列变换（本身代表线性组合），逐步把矩阵变成只有对角线≠0，其它位置全=0 的阵。什么时候进行不下去了（此时右下余阵全 0），就得到了秩。如果进行完全，就是满秩。
过程中如果对角线没有归一化，对角线乘积就是行列式的值。（求秩和行列式其实不必完全对角化，三角化就可以）。
如果过程中对角线做了归一化（全=1），那你的整个过程就相当于求逆，同一过程应用在一个单位 I 阵上，就是原矩阵的逆。
请牢记，线性代数就是几何，线性几何就是矩阵，你既可以用几何来辅助理解线性代数，更可以利用矩阵的强大功能来秒杀各种几何问题。
【2】、来自网友【godiswatchingus】的最佳回答：
行列式是线性代数发展出来的一种方法，用于解线性方程组。而线性方程组是所有计算数学的基础，因为所有的高阶微分方程组都可以通过傅立叶变换或者其它形式的变换而简化成线性方程组来解。幸运的是，自然界绝大多数自然规律豆可以用微分方程组来描述，如牛顿力学和电磁场的麦克斯韦方程组。所以，能解行列式(现代发展出了计算机解决办法)就能解线性方程组、就能解微分方程组、就能解实际工程问题。
【3】、来自网友【卓越数学 888888】的最佳回答：
这种问题很难讲，线性代数只是一套记号系统，很多问题当中都会产生出矩阵和行列式，所以你很难说哪个来源才是真正的本质
当然，如果为了比较深入地理解矩阵和行列式，我建议从线性映射（或变换）的几何意义入手
比如说，考虑 R^n 上的线性变换，y=f(x)=Ax，那么 det(A)具有（有向）体积比的意义，也就是说，x 的某个邻域 U 在这个映射下得到的像 V（V 是 y 的某个邻域）之间的有向体积的比 det(A)=vol(V)/vol(U)，这里 U 和 V 的体积都带有定向
你在某些场合可能会看到行列式表示 n 维平行多胞体的有向体积，这和上述讲法是相容的，你可以理解为 A 的列恰好表示单位向量（单位阵 I 的列，也就是单位立方体的边）在映射 A 下的像，从而 A 把单位立方体映射到一个平行多胞体，两者的体积比就是那个平行多胞体的体积，如果 det(A)<0 则表示中间出现了左右手系的切换
行列式的很多性质（比如行列式在错切变换下不变，交换两列时变号，以及行列式乘积定理 det(AB)=det(A)det(B)，Cramer 法则等）都可以用几何意义来理解
另外，上述解释不仅适用于线性变换，对于比较光滑的非线性变换 y=f(x)而言，Jacobi 行列式的意义也是这样解释（映射前后体积微元的体积比），线性变换的 Jacobi 矩阵是常数矩阵，所以整套系统其实都是一回事
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